摘要：初中是学生数学能力与思维品质培养与发展的关键期，而具有直观显性这一特征的无字证明是对现有定理证明过程的有效补充。教师在采用无字证明教学前需遵循四项原则对采用的无字证明素材进行二次设计和编排，使其更适用于课堂教学，更有利于学生数学能力与核心素养的发展。

关键字：初中数学；无字证明；设计原则

一、引言

无字证明是指仅用图像即可不证自明的数学命题，实质上是一种数学语言，因其独特有趣的证明方式、直观新颖的证明形式而备受青睐。数学家保罗·哈尔莫斯说过：“数学不是逻辑而是图片”，对处于形式运算阶段的初中学生来说辩证、抽象逻辑思维尚未处于优势地位，比起枯燥抽象的代数符号和文字证明，图形图像更为直观，更有条理，无字证明也常被用作定理证明和几何解释而出现在课堂教学之中。

新发布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调初中阶段侧重学生对概念的理解，而相比传统数学逻辑证明，无字证明数形结合、以形定论与隐含证明中心思想的特点以及形式上带给学生耳目一新的强烈的视觉冲击都为激发学生探究兴趣，体会数学美学，加强概念认知提供了有力支撑，也为学生发展“几何直观”与“推理能力”的核心素养提供了一种新的途径[1]。同时，无字证明仅以图像的形式登场，直观的呈现方式本身即是为学生留白。学生需要在仔细观察的过程中提取出关键信息并主动加以建构，抽丝剥茧般对感知到的空白赋予新的意义，重塑认知结构，帮助学生发展自己的认知策略，培养创新意识。

当然不可否认的是无字证明对比逻辑证明在实用性和严谨性上一直备受争议，也并非所有的无字证明都适用于课堂教学，其具有天然的适用局限性，涉及到的数学语言转换也对学生的数学素养提出了较高的要求。但如果能作为一种补充的辅助教学方法，无字证明对于调动学生学习积极性和主观能动性，发展数学核心素养具有积极的价值和意义[2]。

二、无字证明的设计原则

    无字证明的例题依赖于对图形和图像科学合理的使用，学生借助图形的拼补或者观察对比分析图形的内容和变化以得出相应的结论或是验证结论的正确性。当下无字证明的课题研究与讲授例题层出不穷，内容极为丰富，但也存在流于形式或片面误解极端化等问题。有的无字证明例题为贯彻“无字”二字而给予学生的提示与挖掘线索过少，对学生的思维能力和数学素养要求较高，刻意引用的情况下学生易在不明所以的情景中陷入思维误区，甚至背离主旨[3]。有的无字证明则为了引导学生尽快得出结论而显性化过多的信息和提示，此类无字证明题压缩了学生自主思考和探索的过程，抹平了“留白”的空间。以色列数学家马克认为“无字证明是能够唤起学习者数学行为的学习资源”，因此教师在将无字证明融入现有课堂教学的过程中需有必要的对所选内容进行筛选、二次编排和精细设计。

    （一）主旨内容的明确性和可发现性

     无字证明的价值意义在于为学生的学习服务，为学生能力素养的发展服务，因此清晰的可操作性是无字证明的首要属性，明确的中心目标与必备的信息提示就显得尤为必要。实际上无字证明的存在意义和留白本身就隐含着待证明结论的基本思想，教师的设计与编排之衷则必须保证提示信息的含而不露[4]。一方面要避免提示过多导致学生快餐式般得出证明结论，减小学生自主思考和探究的空间和机会，另一方面也要兼顾学生信息的可获得性。

以苏科版八上数学书中的《勾股定理》为例，教学环节包括发现定理、证明定理和应用定理，中心思想在于围绕“图形面积”得出结论。由于在之前的教学内容中没有系统性的学习面积证法，若仅展示图像而失去启发引领及必要信息的提示，学生在解题时易产生陌生感。为体现主旨内容，正如书本内容展示（图2-1）需将图形放置于网格纸中，对三个正方形填充颜色，以网格、色差帮助学生聚焦于探究三个正方形面积之间的关系，从而挖掘出直角三角形直角边、斜边之间存在的数量关系，归纳总结出勾股定理。而在之后的拓展验证的环节中，面对赵爽弦图（ 图2-2 ）、总统证法（图2-3）、刘徽证法（图2-4）等无字证明，学生不难联想到只需从面积的角度出发即可证明结论。

       图2-1                图2-2              图2-3                        图2-4

（二）构造过程的可视性和直观性

无字证明图像大多以单幅的最终形式出现在学生面前，学生的探究方向也往往集中于图像内容中隐含的求证结论[5]。这种呈现形式学生易于抓住求证方向，但是却难以理解图像的形成方式，忽视对图像本身的构图过程和意义的思考，也无法将所证结论从特殊推导至一般。同时无字证明追求图形图像的简洁与直观，刻意的美化和冗杂的无用信息是对学生解题思考的额外负担。

以求菱形面积方法为例，菱形面积既可以采用平行四边形的面积求法即等于底乘高，也可以从对角线角度出发得出面积等于对角线乘积的一半。为体现特殊性，教师可以连接菱形的两条对角线并对分割成的四个直角三角形填充不同的颜色（如图2-5所示），以此帮助学

图2-5

生聚焦于菱形的整体与部分。结合待证命题，学生不难想到菱形从整体考虑是特殊的平行四边形，满足平行四边形的一切性质，又能从部分出发发现菱形面积等于四块全等的直角三角形面积之和，从而得出结论。

（3）解题信息的可察觉性和可区分性

无字证明中给予的既定信息大多形式统一，若对重点信息的提示不做明显区分或是信息

过于内隐，这都会对学生的解题能力和思维能力提出较大挑战，也易使学生陷入思维误区，丧失无字证明原有的价值意义和乐趣[6]。著名数学家张奠宙教授曾指出“教育手段必须为教学内容服务”，因此教师在引用无字证明进行教学时既需保证必备信息的可见性，也可通过不同的作图方式来提示学生区分信息条件。特别地，以无字证明本身适当的留白属性取代详细的线索条件对于学生自主探究具有积极的价值引导作用，有利于发展学生的核心素养[7]。

如图2-6所示是勾股定理无字证明的变式，在图2-2的基础上以a,b为直角边，c为斜边作三个直角三角形，再作以c为边长的正方形ABDE。解决问题的方法看似显然，仍从整体与部分的面积角度找出等量关系后写出等式即可，但学生在问题解决实际过程中面对该类复杂的几何图形仍较为棘手。因此教师可以用虚线延长DG交AC于点F，引导学生推导出∠CFG=90°，从而得出在五边形ACBDE中，S△ABC+S正方形ABDE=S直角梯形BCFD+S直角梯形AFHE+S△DEH这一等量关系。

图2-6                 图2-7                     图2-8                 图2-9

（4）无字证明的留白与可迁移性

无字证明的留白属性是其区别于逻辑证明的显著特征。现有研究已表明“学生在填补无字证明中心思想之白、部分图形性质之白上表现较好，但难以填补一般化之白，即解释基于这个特定图形的证明是否可以得到一般性的结论证明”[8]，这就对教师的教学能力和专业技能提出了较高要求。同时教师需要具备留白教学的意识，对于学生在证明过程中存在的空白可采取连续追问或启发式提问使学生逐步学会更全面的思考，实现无字证明留白属性的真正作用。以勾股定理为例，无字证明的图形大多以直角为主线展开，教师可以通过提问“勾股定理是否对任意三角形都使用？”引导学生发现一般化之白，从而加深学生对勾股定理章节内容的认识和了解。

值得注意的是无字证明在当前初中数学教学中可使用情境和可选取范围较小，教师若是针对不同的教学内容即采用不同的无字证明素材，学生易产生陌生感和焦虑感。因而教师在素材的选用选取上更需仔细斟酌，争取做到前后贯通。若能仅予以适当变式便可帮助学生实现知识的迁移与深化那对于提升教学效率，减小学生焦虑具有积极的意义，同时也有助于学生发散思维的培养。如图2-6、2-7、2-8所示，教师可仅通过对图形的适当变形即可引导学生自主学习探究，实现从单项式乘多项式到多项式乘多项式以及完全平方公式三节课内容的螺旋上升，完成知识的迁移。

三、结语

    无字证明直观简洁、新颖有趣的证明方式和留白属性有其独特的历史价值和重要的教育意义。教师在教学过程中若能积极合理的以无字证明作为辅助教学工具，则对于学生几何直观与推理能力、创新意识的发展，提高学生数学思维品质与数学能力具有积极的促进作用。

四、参考文献

[1]刘倩雯,汪晓勤.无字证明在数学教学中的应用[J].中学数学月刊,2023(09):21-25.

[2]万广磊.无字证明[J].初中生世界,2023(Z6):112-113.

[3]李发勇.勾股定理的“无字证明”教学思考[J].中学数学杂志,2023(06):53-56.

[4]梁凝湘,曹婉盈,吴淑娜.中小学数学中的无字证明[J].数学学习与研究,2020(09):160-161.

[5]张奕一. 关于拓展课上无字证明课例开发的调查研究[D].华东师范大学,2018.

[6]冯莹莹,戎海武.高等数学中的无字证明[J].高等数学研究,2017,20(03):45-47.

[7]蒲荣飞,张守习.无字证明[J].中学生数学,2012(19):50+49.

[8]蔡甜甜，刘国祥，宁连华.数学课堂留白艺术的理论探析与实践反思[J].数学教育学报，2018.27（6）：29-32.