宜兴教育云

作者：宜兴市范道中学 莫媛媛

摘要：“大单元”教学，不是单纯的内容重新整合，而是要注重知识的完整性。教师依据学生的知识形成过程，合理安排每一课时的内容，帮助学生搭建完整的知识体系，发展学生的数学观，培养学生的数学核心素养。

关键词：大单元一次函数数学建模整体性

一、绪言

传统的数学教学，教师着眼在本节课的内容上，通过多种教学技巧、方式，让学生掌握这节课的内容，以此认为完成了教学任务。但是由于多方面的限制性，学生往往缺乏知识的整体感知，以及整个知识体系的搭建过程。在数学核心素养的提出后，老师们认识到仅仅立足于解读一节课来进行教学，存在很多的不足。学生对于单一的知识点掌握到位，但是到综合题目时却存在较多的问题！为了使知识更好的融合，在此本文，通过“大单元”的视角，整体引入，从大方向，大角度等高位切入，对于“用一次函数解决问题”第一课时做了一定的尝试，。

二、教材解读

单元分析：

《一次函数》是苏教版八上的第六章内容，本单元是学生首次接触到函数，是初中阶段函数的起始章，同时更为之后的反比例函数、二次函数的学习做铺垫。本单元一开始从生活实例抽象出数学问题，再引入到数学知识，最后用数学知识解决实际问题（图1）。

图1

2、课时结构分析：

传统的教学模式，是教师把题目分成几类进行分类讲解(图2)，每一个类型之间关联性较少，所涉及的知识点也是零散的、点状的，通过大量的题目练习，使学生掌握，呈现的是一种模式化的教学，不利于学生知识的提取和迁移，所以往往学生碰到综合性的题目时，缺乏灵动性。

图2

本节课从“大单元”角度出发，整合了现有的教材内容，融合学生已有的知识基础，进行的安排。结合前几课时所学的一次函数，从“形”的维度发出，涉及了一次函数的图形、性质，从“数”的维度，涉及了一次函数的表达式、一元一次方程的计算，一元一次不等式的计算等，渗透数形结合的思想。同时结合之前一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，进一步深化建模的思想，帮助学生构建完整的知识体系，从而不仅能够达到本节课知识点的掌握，更能够培养学生的数学思维，发展并培养学生的数学核心素养。（图3）

（图3）

教学过程

1、整体出发，唤醒认知

问题1：前面我们学习了一次函数的一些知识，请问有哪些呢？

一次函数的概念，一次函数的表达式，图像、性质等，先从“数”方面进行函数的研究，接着到“形”的研究，我们线性安排，逐步推进，渗透了数形结合思想。

追问：在初一我们学习了一元一次方程，之后又学习了用一元一次方程的什么内容；同样的我们学习了一元一次不等式之后，又学习了一元一次不等式的什么内容？两块内容的学习流程上有没有共性？

以上两者一个是一元一次方程的建模，一个是一元一次不等式建模。从实际问题到数学知识，这是数学的高度抽象，也就是数学建模。数学建模在之前的教学中已经涉及到，学生有这方面的初步轮廓，从大单元的全局观念来看，本节课的内容是建模体系的深化，所以必须遵循整体系统的思想，让学生感知数学知识间的本质及内在联系，帮助学生完善数学体系。

2、体系引领，引出新知

问题2：数学是从生活中来，到生活中去，本章的开头我们由列车的电子屏的变化引入了一次函数，之后又学习了一次函数的知识，那今天我们要研究一次函数的什么内容呢？

追问：同学们也可以回顾之前一元一次方程以及一元一次不等式的学习过程，考虑今天的学习课题？

引出今天课题：研究一次函数的应用，归纳出本章学习的基本路线。（图4）

（图4）

3、同类对比，引出共性

问题3：请同学们回顾方程（一元一次方程、二元一次方程组）的应用、不等式（一元一次不等式、一元一次不等式组）的应用的核心是什么？
以上是方程建模和不等式建模，首先把实际问题数学化，提炼出数学问题，之后是找到核心的等量关系（不等关系），得到一元一次方程（一元一次不等式），再解决方程问题（不等式问题），最后即可得到实际问题的解决。

追问：一次函数建模的基本过程是什么呢？

把实际问题数学化，转化为函数问题，用函数知识解决问题。（图5）

（图5）

4、典型例题，深度剖析

问题4：一个加工厂主要加工某种零件，但是该加工厂每天需要1200元的固定开支，零件的原料以及人工费用合计为每个90元。

请表示出工厂每天的生产成本（包括固定开支、原料及人工费）与零件个数之间的函数表达式；

若每个零件的销售价为120元，那么该工厂每天要生产多少个零件，该工厂才会有赢利？

对题目进行充分的阅读，关于第一小题：对“零件的原料以及人工费用合计为每个90元”这句为该问的核心，分析其中的变量之间的关系，抽象出一次函数关系，列出一次函数的表达式：y1=90x+1200（y1表示每天的生产成本，x表示零件的个数），对于第二小题，收入随着产品数量的变化而变化，从而抽象出一次函数关系：y2=120x(y2表示销售收入)。至于赢利，转化为数学问题，就是不等式的建模，就是销售收入大于生产成本，即：y2>y1，得到不等关系，最后利用不等式解决问题，120x>90x+1200，解得x>40。

一次函数的实际应用问题，首先要根据题目意思，抽象出对应的一次函数，再根据问题的关键分析出数量之间存在的是何种关系。本题是典型的不等式关系，那就是不等式建模，利用解决不等式的问题从而达到解决本道实际应用题的目的。如果是等式关系，那就是等式建模。

5、巩固强化，要点升华

问题5、小明在家，他要到图书馆查资料，准备用出租车出行，他所在的市区有两家出租公司，但收费的标准不一样，甲出租车公司的租车费y1(元)与行车路程x(千米)之间存在函数关系，乙出租车公司的租车费y1(元)与行车路程x(千米)之间存在函数关系，它们的图像如图所示：（图6）

请问当小明家到图书馆的距离为多少千米时用车里程多少时，租用两家公司的费用相等？

请问当小明家到图书馆的距离为多少千米时用车里程多少时，租用甲家公司的费用大于乙公司？

（3）请问当小明家到图书馆的距离为多少千米时用车里程多少时，租用甲家公司的费用小于乙公司？

（图6）

本题可以根据图形反过来求得一次函数的表达式，然后对于第一小问是相等的数量关系，用方程的建模，（2）、（3）两小问是不等关系，就是不等式建模。但是对于本题我们不光要引导学生从“数”上思考，还要从“形”上分析问题，结合一次函数的图形去解决问题，找到两条函数的交点，即表示两者相等，再分交点两侧进行研究，渗透数形结合思想。

6、总结归纳：

问题6：本节课我们学习了什么？

本节课是一次函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，利用所学的数学知识解决数学问题，从而能够解决实际问题。在解决问题问题的过程中，其主要是能提炼对应的一元一次方程建模，或者是一元一次不等式建模，将新旧知识进行整合、同化，进一步建构自我的数学知识体系。

四、“大单元”的再认识

当下对于“大单元”、“大视角”等“大”方面的研究，许多教师的认识是多样化的，但笔者认为“大单元”，这不是简单的把一整章节的内容进行重新组合，或者重新编排，而是要注重知识的整体性，完整性。知识之间有纵向和横向的内在联系，教师利用“大单元”教学，是不破坏知识的整体结构，不去碎片化的教学，而是教师帮助学生感知并找到其中的联系，从而能够构建完整的数学体系。

对于本课时的教学，笔者没有对课本内容做大幅度的调整，主要是从横向和纵向两方面进行考虑。首先是纵向思维：结合本单元已学的一次函数的知识，它是一个线性流程，从“数”到“形”，两方面都为本节课做了全面的铺垫；其次是横向思维：对于之前所学的一元一次方程，一元一次不等式，方程建模和不等式建模学生已经掌握，所以结合以上两点，笔者安排了本节课的教学。本节课是一次函数与建模思想的一个整合，是知识的迁移、深化，是思维的高度提升。

本课时的教学遵循数学的本质，培养学生的数学素养，让学生不仅仅是记住知识，更多的是发展学生的数学能力。