源于“生长”  指向“深度”

             ——“圆（1）”的教学设计与思考

摘要：

在教学中，教师通过创设有效情境、活动探究、迁移运用等方式使学生的思维逐步生长，激发学生的学习动机和兴趣，从而发展高阶思维，促进深度学习；通过教学活动设计，寻找到知识的“生长点”和“延伸性”，使教学活动成为关注学生生命成长的过程，从而真正落实核心素养，为学生的终身发展助力.

关键词：生长    深度学习     素养  

正文：

新课标指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性[1].“生长数学”便是在这个理念下，卜以楼先生和他的团队创造的一种教学思想和实践行为，为指导我们一线教师的教学提供了切实可行的实践方案，它的目标指向学生的生命发展.而数学的“深度学习”是指在教师引领下，学生能够批判地学习新思想和事实，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程；它是努力去揭示数学知识的本质属性，并基于理解之上更多关注应用、分析、评价与创造层面的高阶思维的学习，它的目标指向发展学生的数学素养[2].拥有生长力的课堂是教师共同的的追求，学生能开展深度学习无疑是有生长力的学习.下面，笔者以苏科版九年级上册“圆（第1课时）”为例，阐述在“生长数学”的理念来推进学生“深度学习”的教学路径的一次尝试.

1 课堂简录

1.1创设情境，导入新课

（1）展示生活中有“圆”的形象的事物——感悟圆的形象.

（2）屏幕上演示Flash动画课件：两个骑车人，一个骑着三角形和正方形车轮的自行车．追问：为什么车轮要设计成圆形？

设计意图：通过展示和列举圆形的事物或现象，感受到圆就在身边；通过动画演示，一下子激发了学生的求知欲和学习兴趣，为后续展开学习圆的定义作铺垫.作为“圆”这一章的首课，教学的意义在于统领，要以高品位的立意来激发学生的兴趣，揭示生长的力量，为后续的深度学习奠定基础.

1.2活动探究，生成概念

1.2.1预备活动——回顾圆的画图、描述圆的定义：

用圆规画圆：圆心为0，半径为3cm的圆；若用一根绳子，如何画圆？由此学生理解圆的描述性定义:把一条线段OP的端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转一周，点P运动所形成的图形就是圆；知道圆是一个封闭图形，并理解确定圆的两个要素：圆心和半径，学习圆的表示等.

1.2.2探究活动——研究圆的相关知识：

活动1：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当怎么排？学生根据经验会回答：排成圆形队伍公平，从而理解圆上任意一点到圆心（定点）的距离等于半径（定长），于是理解圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．再进一步解释车轮为何是圆形：车轮与平面的接触点（在圆上）与圆心的距离始终相等，这样坐车比较平稳．把这个形的理解量化，那就是：若点在圆上，则点到圆心的距离等于r，即d=r    点在圆上.追问：你能说出到点O的距离等于10cm的所有点的集合是什么图形吗？（进一步理解“圆”的集合概念.）

活动2：在刚才设计的投圈的游戏过程中，如果有人站到圈内投，公平吗？学生类比活动1的学习，能感受到在所画圆内任取一点，该点到圆心的距离小于半径作比较（d<r）.反之，满足d<r的点都在圆内，于是理解圆内的点的集合的观点，得出d<r     点在圆外.追问：你能说出点O的距离小于10cm的所有点的集合是什么图形吗？（进一步理解“圆的内部”的集合概念.）

活动3：同理，如果站在圈外投，可得该点到圆心的距离大于半径（d>r）.反之，满足d>r的点都在圆内，从而理解圆外的点的集合的观点，得出③d>r      点在圆外.追问：你能说出点O的距离大于10cm的所有点的集合是什么图形吗？（进一步理解“圆的外部”的集合概念.）

从而进一步归纳：平面内点与圆的位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外，并可以用d与r数量关系来理解，体会数形结合的思想.

设计意图：根据学生对圆已有的认知，从圆规画圆和做投掷游戏开始，逐渐形成对圆上的点、圆内的点、圆外的点的集合定义以及对平面内点与圆的位置关系的理解，进一步理解圆上点、圆内点、圆外点的“集合”概念.概念是数学逻辑的起点，是学生的认知基础，是教学的核心，如果照本宣科，或按“三个例子、一个概念、几项注意”来教学，就丧失了它的教学功能，不利于学生数学核心素养的形成.这里，这些“集合”概念的形成关键就是要通过“形”的理解，学生能抽象出“数”的属性，在此过程中感受概念的生长过程，有利于他们从数学思想的高度去构建知识结构，发展他们的数学素养.

1.3例题评析，理解概念

例1：(1)⊙O的直径d=16cm，OA、OB、OC的长度分别为6cm、8cm、10cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系分别是：                                                      ．

(2)⊙O的半径6cm，当OP=6cm时，点P在           ；  当OP           时点P在圆内；当OP           时，点P不在圆外．

(3)爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，这个导火索的长度是18cm，已知点导火索的人员需跑到离爆破点120m以外的安全区域，如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么此人是否安全？

例2：已知点P、Q，且PQ=4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合， 到点Q的距离等于3cm的点的集合（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3的点有几个？请在图中将它们表示出来（3）在所画图中，到点P的距离小于等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3厘米的点的集合是怎样的图形，请你在图中画出来．

例3：如果四个同学改变位置，站在矩形的顶点上来投掷，目标物应放在哪里才能让游戏公平？

设计意图：学习之道在于“悟”.本课的重难点一是点与圆的位置关系的量化，二是集合的理解.除了通过新授概念时学生在活动中的感悟，还需要通过具体的题目来落实理解.通过例题，学生能进行反思解决问题的策略和方法，目的是能够达到“做一题，会一类，通一片”.体会到抽象与具体的联系，形的直观和数的深入.

1.4交流体会，归纳总结

1.今天学习的哪些与圆有关的知识？感悟到了哪些数学思想方法？（归纳如下图）

圆

2.你认为后续要如何展开对圆的研究？

设计意图：问题1让学生从知识点、思想方法等角度对本课的知识进行归纳，形成本课的知识结构图.如果说整个教学的过程是“画龙”之作，那本课小结就是“点睛”之笔.而我们实际的教学往往忽视这个环节，这是值得我们反思的.知识结构化才能形成学习能力，是促进学生自我生长的过程.问题2的设计目的是唤醒学生意识，学生根据以往学习图形的经验谈一谈后续要研究圆的哪些知识，这样有利于学生从图形的生长过程，用动态的观点来认识圆.

2 “生长”理念下推进深度学习的教学路径

2.1 创设支持深度学习的问题情境——开启教学

    作为章首课，我们的教学不仅要思考要教什么，还要思考如何让学生对这些知识感兴趣、有热情，让知识的发生、发展具有生长力、生命力，从而让学生不断拔节生长.有了这样的理解，教学设计就不会盲目，不会只为知识而设计，而是为学生的成长设计.

首先，教师角色的首要定位就是为学生创设合适的学习情境.我们学习几何图形，往往是通过观察生活中的常见图形引入，让学生感悟到图形就在身边.圆的形象显然也是非常常见的，但学生一般不会带着数学眼光去审视.因此笔者就设计了骑三角形车轮的车和骑圆形车轮的车的动画，直观形成数学思考：设计车轮是圆形的数学考虑是什么？这就为理解、质疑学习、进一步深度学习创设了良好的情境.

2.2 组织指向深度学习的探究活动——引领教学

通过回忆圆的画法（衔接小学所学），理解圆的描述性定义.学生自己画图后明确了一个圆的确定要靠圆心和半径.如果给出任意定长的绳子（线段），也可以画圆，引导学生观察、思考、总结出圆的描述性定义，感悟到圆是一个封闭图形.这个环节，学生对画圆都有一定的经验，他们可以凭自己的经验自主学习.显然，概念教学，教师不用简单地告知，让学生自己在操作中理解感悟是合理的学习方法.

通过“投掷游戏是否公平”这个活动入手，贴近学生的认知.这个环节的教学是对书本内容的一个整合，学生比较容易理解的是“形”的特点，如何用“数”来理解以及集合概念是本课的难点.突破这个难点，只有从学生真正的体验出发.活动1，学生都知道站在圆周上，游戏才公平.从数学角度看，圆上的点到某个定点的距离相等.反之，到定点的距离等于定长的点都在圆上.这样再理解“圆就是到定点的距离等于定长的点的集合”这句话就水到渠成了.教师再通过一个具体的例子让学生回答，学生就更容易理解.这里从具体到抽象再到具体，即关注了核心知识，又非常自然地对后续内容的理解有个铺垫.活动2和活动3，类比活动1的学习，学生就能更深入地理解什么是圆的内部、圆的外部的集合观点.这时再由学生总结平面内点与圆的位置关系，就比较自然了.这里，用数来理解形的特点是重点.笔者通过让学生测量、观察、归纳得出d与r的数量关系和点与圆的位置关系的对应关系.这种前后关联，左右衔接的学习方式正是深度学习的重要特征，是把知识网络化、结构 化的重要手段，并且以两种思想（从特殊到一般，数形结合）串联起三个知识点的学习，让学习更有条理，有依据，直指内涵.

2.3分析基于深度学习的典型例题——深化教学

    通过3个例题展开对本课知识进一步运用和迁移，层层递进.第1个例题，第（1）和（2）小题主要是从数量的关系来研究点与圆的位置关系，具体到题目，如何操作也是学生需要掌握的内容；第（3）小题引导学生能从实际问题中抽象出本课的这个模型，培养学生的建模意识.第2个例题，就是加深对几个集合概念的理解，有一定难度.课堂上通过画图、观察、讨论、交流来实现理解.第3个例题，是四点共圆的问题，是对圆的概念理解的进一步深入，如果时间充裕，还可以扩充一些变式的四点共圆的图形，为后续学习构造圆打下基础，对于学生今后进一步学习会有质的提升.

3教学反思与感悟

深度学习并不是超纲学习、一味往解难题上发展，而是在知识的生成、思维的发展上下功夫，目的是提升学生的核心素养，学会学习.在这个过程中，学生是问题的发现者、分析者和解决者，而教师是引领者.要想实现深度学习，学生必然要经历探究、发现的过程，而教师就要创设这样的学习氛围，而不是灌输.卜以楼先生说：“将教学活动设计成一个关注人的生命成长的过程，将知识生长与人的生命成长协同发展.这个过程，是一个追求彰显个性发展的过程，更是一个体悟知识生长、生命成长哲理的过程”[3].为此，教师精心设计、深度钻研教材，是学生践行深度学习的保证.

3.1立足“生长”，重视情境的深度建构

    课堂教学中如何引导学生深刻理解知识，如何拓展思维力，如何提高数学素养，教学情境是非常重要的.教学情境不仅是在教学的第一个环节中体现，更应该贯穿整节课，学生可以置身于这样的情境中，有时是生活情境或就是一个数学问题情境，这是促进学生“深度学习”的一个有效的途径与方法.例如，本节课，笔者以一个游戏情境代入，把概念课的核心通过这个游戏的理解来贯穿；再如，我们常用的“变式教学”也是很好的情境；甚至，课堂上学生出现的一些“意外”资源，引导学生辨析，可以让学生对所学知识、方法认识得更全面、深刻.教学的目的不是让学生知识化，而是智慧化，情境的设计不仅展示数学的魅力，而且要催生学生生命成长的力量.

3.2基于素养，关注思维的深度发展

   深度学习中的高阶思维就是在“记忆、理解、应用”的基础上，始终将“分析、评价和创造”作为教学目标的重点关注对象[4].本课中，笔者没有将知识讲授放在首位，而是更关注学生的思维过程.从已有的认知出发，通过活动的不断变化，产生了知识的整体架构，学生可以自主形成知识链.尽可能在每个环节促进深度学习的自然发生，促进知识的有效迁移与应用.而目前我们的课堂中，总是会存在为了赶进度，让学生多刷题，教师或是少数优秀学生“一言堂”的现象，剥夺了大多数学生深度思考的权利，久而久之，形成思维惰性，缺乏生本理念，这是我们要特别警惕的.

3.3 借助技术，挖掘深度学习路径

技术辅助下的数学深度学习过程更直观，使处于从形象思维到抽象思维过渡时期的学生能更好地观察动态中的特征，有利于学生对知识的理解，促进学习的兴趣.比如说，“几何画板”可以让动点问题一目了然，挖掘出动态问题的本质，进一步让学生利用相关软件生成一些相关问题的探索，联想的本质就是生成；也可以录制微视频和大家分享解题方法，一题多解，多解归一等；有条件的学校还可以利用“数学实验室”，让学生“做数学”，更好地体会数学有趣、有用等价值.这些数学活动必定会潜移默化提升学生的学习素养，拓宽学生深度学习的路径.

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 周建勋.促进学生深度学习的理论探索与实践[J]中学数学参考:（中旬）2017(12):26-28.

[3]  卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2020.

[4] 魏强.基于深度学习的课堂构思与教学实践[J].中学数学参考:（中旬）2020（11）:5-8.